CALCOLO DELLE PROBABILITÀ: EVENTI E TEOREMA DI BAYES.

Indice degli esercizi

1  Proprietà delle probabilità
    1.1  Soluzione dell'esercizio 1
2  Teorema di Bayes
    2.1  Soluzione dell'esercizio 2
3  Teorema di Bayes
    3.1  Soluzione dell'esercizio 3
4  Proprietà delle probabilità e teorema di Bayes
    4.1  Soluzione dell'esercizio 4
5  Proprietà delle probabilità.
    5.1  Soluzione dell'esercizio 5

Esercizio 1
Proprietà delle probabilità

Una fabbrica produce RAM che possono avere due tipi di difetti: il difetto A e il difetto B. Il responsabile per la qualità della fabbrica afferma, dall'esperienza passata, che la probabilità che una RAM abbia almeno uno dei due difetti è pari a 0,3; la probabilità che abbia il difetto A ma non il B è pari a 0,1; la probabilità che abbia contemporaneamente i due difetti è pari a 0,2. Calcolare la probabilità che una RAM abbia:

a)
il difetto A;
b)
il difetto B;
c)
il difetto A, dato che si è riscontrato che non abbia il difetto B.

1.1  Soluzione dell'esercizio 1

Si considerino i seguenti eventi:

Per ipotesi si ha:


P(A »
B) = 0,3
P(A «
_
B
 
) = 0,1
P(A «
B) = 0,2
La tre probabilità cercate si possono esprimere come combinazione delle probabilità appena date

a)
Poichť l'unione fra B e il suo complementare Ť l'evento certo, e tenendo conto che la probabilitŗ dell'unione di eventi incompatibili Ť data dalla somma delle probabilitŗ dei singoli eventi, si ha:


P(A) = P[ A «
( B »
_
B
 
)] = P(A «
_
B
 
) +P( A «
B) = 0,1 + 0,2 = 0,3

b)
Essendo:


P( _
B
 
) = P( _
A
 
«
_
B
 
) + P( A «
_
B
 
) = (1 - P(A »
B)) + 0,1 = 0,7 + 0,1 = 0,8
si ha: P(B) = 1 - P [`B] = 0,2.

c)
Per definizione di probabilità condizionata, si ha:


P( A | _
B
 
) =
P( A «
_
B
 
)

P( _
B
 
)
= 0,1
0,8
= 0,125

Esercizio 2
Teorema di Bayes

Uno studente deve sostenere un esame. Se studia passa con probabilitŗ 99 %, ma se va alla festa da ballo la sera prima la sua probabilitŗ di promozione si riduce al 50 %. Deciderŗ di andare alla festa se esce testa lanciando una moneta equa. Se egli supera l'esame qual Ť la probabilitŗ che sia andato a ballare?

2.1  Soluzione dell'esercizio 2

Si considerino gli eventi:

I dati che si hanno a disposizione sono:


P( E | _
F
 
) = 0,99
P( E | F) = 0,50
P(F) = P( _
F
 
) = 0,5

La probabilitŗ richiesta dal problema si determina applicando il teorema di Bayes, ovvero:


P(F|E)= P(F)P(E|F)
P(F)P(E|F) + P( _
F
 
) P(E| _
F
 
)
= 0,5 *0,5
0,5 * 0,5 + 0,5 * 0,99
= 0,336

Esercizio 3
Teorema di Bayes

In una data cittŗ americana risulta che 30 % dei votanti sono Conservatori, 50 % sono Liberali ed il 20 % sono Indipendenti. Se in una data elezione hanno votato rispettivamente il 65 %, l'82 % ed il 50 % dei Conservatori, Liberali ed Indipendenti, se si sceglie a caso una persona nella stessa cittŗ che non ha votato, qual Ť la probabilitŗ che sia Liberale?

3.1  Soluzione dell'esercizio 3

Si considerino gli eventi:

L'esercizio viene risolto attraverso il teorema di Bayes, ovvero:


P(L| _
V
 
)
=
P(L)P( _
V
 
|L)

P(C)P( _
V
 
|C) +P(L)P( _
V
 
|L) + P(I)P( _
V
 
|I)
=
0,5 * 0,18
0,3 * 0,35 + 0,5 * 0,18 + 0,2 * 0,5
= 0,305

Esercizio 4
Proprietà delle probabilità e teorema di Bayes

Una compagnia di assicurazioni ritiene che gli assicurati possano essere suddivisi in due classi: a rischio di incidente e non a rischio di incidente. Le loro statistiche mostrano che una persona a rischio avrŗ un incidente di qualche tipo all'interno di un periodo fissato di un anno con probabilitŗ 0,4, mentre tale probabilitŗ Ť pari a 0,2 per le persone non a rischio.
a)
Supponiamo che il 30 % delle persone sia a rischio, qual Ť la probabilitŗ che un nuovo assicurato abbia un incidente nel primo anno di polizza?
b)
Supponiamo che un nuovo assicurato abbia un incidente entro un anno dalla prima stipulazione della polizza. Qual Ť la probabilitŗ che sia a rischio?

4.1  Soluzione dell'esercizio 4

Si considerino i seguenti eventi:

a)
Per quanto riguarda P(I) si ha:


P(I)
=
P(I «
(R »
_
R
 
))=
=
P[(I «
R) »
(I «
_
R
 
)]=
=
P(I «
R) + P(I «
_
R
 
)=
=
P(R)P(I|R) + P( _
R
 
)P(I| _
I
 
)=
=
0,30 * 0,40 + 0,70 * 0,20 = 0,26

b)
Attraverso il teorema di Bayes si ha:


P(R|I)= P(R)P(I|R)
P(I)
= 0,3 * 0,4
0,26
= 0,46

Esercizio 5
Proprietà delle probabilità.

Un squadra di calcio partecipa a due partite E1 e E2. Sia A l'evento che la squadra vinca la gara E1 e B l'evento che vinca E2. Si ammetta che


P(A) = 0,6, P(B) = 0,5 e P(A «
B) = 0,35.

a)
si descriva lo spazio campionario relativo all'esperimento e lo si rappresenti con i diagrammi di Venn;
b)
si descrivano verbalmente gli eventi:


A »
B,
A
 
»

B
 
, A «

B
 
,
A
 
«

B
 
,
A »
B
 

c)
si calcolino le probabilità di cui al punto precedente.

5.1  Soluzione dell'esercizio 5

a)
l'esperimento che si sta studiando si compone di quattro eventi:


1: A «

B
 
ovvero la squadra vince la partita E1 ma non E2;


2: A «
B
ovvero la squadra vince ambedue le partite;


3:
A
 
«
B
ovvero la squadra vince la partita E2 ma non E1;


4:
A
 
«

B
 
ovvero la squadra non vince né E1 né E2. Il diagramma di Venn è riportato nella seguente figura

venn.gif

Figure 5.1: Diagramma di Venn: sono rappresentati gli eventi A e B ( le due ellissi) e i 4 eventi componenti lo spazio campionario.

b)
Il significato dei 5 eventi richiesti è il seguente:


A »
B
almeno una partita viene vinta (nel diagramma di Venn corrisponde all'unione delle zone 1, 2 e 3 in giallo, arancione e rosso);



A
 
»

B
 
almeno una partita non viene vinta (corrisponde all'unione delle zone 1, 3 e 4 in giallo, rosso e celeste);


A «

B
 
viene vinta la partita E1 ma non E2 (corrisponde alla zona 1 in giallo);



A
 
«

B
 
non viene vinta nessuna partita (corrisponde alla zona 4 in celeste);



A »
B
 
non è vero che almeno una partita viene vinta (cioè né E1 né E2 vengono vinte dalla squadra). Per le formule di De Morgan si ha che questo evento coincide con il precedente:



A »
B
 
=
A
 
«

B
 

c)
Per il primo evento è semplice calcolare la probabilità attraverso la relazione seguente:


P(A »
B) = P(A) + P(B) - P(A «
B) = 0,6 + 0,5 - 0,35 = 0,75.
Per il secondo evento, applicando la regola di De Morgan e ricordandosi che per un qualsiasi evento C si ha:


P(
C
 
) = 1 - P(C),
si ottiene:


P(
A
 
»

B
 
) = P(
A «
B
 
) = 1 - P(A «
B) = 1 - 0,35 = 0,65.
Per il terzo evento conviene considerare un passagio in più. La probabilità dell'evento A può scriversi:


P(A)
=
P(A «
(B »

B
 
)) = P((A «
B) »
(A «

B
 
)) =
=
P(A «
B) + P(A «

B
 
).
Quindi:


P(A «

B
 
) = P(A) - P(A «
B) = 0,6 - 0,35 = 0,25.
Infine, già abbiamo visto che per le formule di De Morgan gli ultimi due eventi coincidono. La loro probabilità è data da:


P(
A
 
«

B
 
) = P(
A »
B
 
) = 1 - P(A »
B) = 1 - 0,75 = 0,25.




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On 6 May 2001, 12:40.